Question

如圖：矩形ABCD的頂點B、C在x軸的正半軸上，A、D在拋物線y=-x²+x上，矩形的頂點均為動點，且矩形在拋物線與x軸圍成的區域里．
（1）設點A的坐標為（x，y），試求矩形的周長p關于變量x的函數的解析式，并寫出x的取值范圍；
（2）是否存在這樣的矩形ABCD，它的周長p=9？試證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據拋物線的解析式令y=0，可求出拋物線與x軸兩交點的坐標，因為A點的坐標為（x，y），則B點坐標為（x，0），即OB=x，由拋物線的對稱性可知EC=x，則BC=4-2x，再根據矩形的面積公式可求出矩形周長p關于變量x的函數表達式；
（2）先假設符合條件的矩形存在，把9代入（1）所求的矩形周長公式，根據一元二次方程判別式的情況判斷出方程解的情況即可判斷P是否存在．
解答：解：（1）令-x²+x=0，
得：x₁=0，x₂=4，
則拋物線與坐標軸兩交點的坐標為O（0，0）和E（4，0），
設OB=x（0＜x＜2），由拋物線的對稱性可知EC=x，則BC=4-2x，
P=2（4-2x+y）=2（4-2x-x²+x）=-x²+x+8（0＜x＜2）．

（2）不存在．
先假設存在周長為9的矩形ABCD，則-x²+x+8=9，
化簡得：4x²-4x+3=0，
則有△=16-48＜0，
∴方程無實數根，即不存在這樣的矩形．
點評：本題考查了二次函數的知識，難度適中，注意數形結合思想的靈活運用，同時要注意總結這類綜合題的解題思路．