Question

【題目】數學活動

問題情境：

如圖1，在ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D，E分別是邊AB，AC的中點，將ADE繞點A順時針旋轉α角(0°＜α＜90°)得到AD′E′，連接CE′，BD′.探究CE′與BD′的數量關系；

圖1　　 圖2 圖3　　 圖4

探究發現：

(1)圖1中，CE′與BD′的數量關系是________；

(2)如圖2，若將問題中的條件“D，E分別是邊AB，AC的中點”改為“D為AB邊上任意一點，DE∥BC交AC于點E”，其他條件不變，(1)中CE′與BD′的數量關系還成立嗎？請說明理由；

拓展延伸：

(3)如圖3，在(2)的條件下，連接BE′，CD′，分別取BC，CD′，E′D′，BE′的中點F，G，H，I，順次連接F，G，H，I得到四邊形FGHI.請判斷四邊形FGHI的形狀，并說明理由；

(4)如圖4，在ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，點D，E分別在AB，AC上，且DE∥BC，將ADE繞點A順時針旋轉60°得到AD′E′，連接CE′，BD′.請你仔細觀察，提出一個你最關心的數學問題(例如：CE′與BD′相等嗎？)．

Answer 1

【答案】CE′＝BD′

【解析】試題分析：（1）先證明AD=AE，再根據旋轉得到∠BAD′＝∠CAE′＝α，AD′＝AE′，證明△ABD′≌△ACE′，根據全等三角形的對應邊相等即可得；

（2）類比（1）的方法先證明AD=AE，然后再證明△ABD′≌△ACE′，根據全等三角形的性質即可得；

（3）先證明四邊形FGHI是平行四邊形，再證明四邊形FGHI是菱形， 延長CE交BD′于點M，由（2）得△ABD′≌△ACE′, 從而推導可得∠CBM+∠BCM=90°，進而可推導得到∠IFG＝90°，從而得四邊形FGHI是正方形；

（4）答案不唯一，只要符合題意即可.

試題解析：(1) ∵D、E分別為AB、AC的中點，∴AD=AB，AE=AC，

∵AB＝AC，∴AD＝AE，

∵△ADE繞點A順時針旋轉α角(0°＜α＜90°)，得到△AD′E′，

∴∠BAD′＝∠CAE′＝α，AD′＝AE′，

在△ABD′和△ACE′中，

∴△ABD′≌△ACE′，

∴CE′＝BD′，

故答案為：CE′＝BD′；

(2)CE′與BD′的數量關系還成立，理由如下：

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

∵DE∥BC，

∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB.

∴∠ADE＝∠AED，∴　AD＝AE，

∵△ADE繞點A順時針旋轉α角(0°＜α＜90°)，得到△AD′E′，

∴∠BAD′＝∠CAE′＝α，AD′＝AE′，

在△ABD′和△ACE′中，

∴　△ABD′≌△ACE′，

∴　CE′＝BD′；

(3)四邊形FGHI是正方形，

∵F，G，H，I分別是BC，CD′，E′D′，BE′的中點，

∴FG＝HI＝BD′，IF＝HG＝CE′.

∴四邊形FGHI是平行四邊形，

又∵BD′＝CE′，∴FG＝IF，

∴四邊形FGHI是菱形，

延長CE交BD‘于點M，如圖，

由（2）得△ABD′≌△ACE′,

∴∠ACE′=∠ABD′，

∵∠BAC=90°，

∴∠ACE′+∠ABC+∠BCM=90°，

∴∠ABD′+∠ABC+∠BCM=90°，

∴∠CBM+∠BCM=90°，

又∵FG∥BD′，IF∥CE′，

∴∠CFG＝∠CBM，∠BFI＝∠BCM，

∴∠CFG＋∠BFI＝90°，∴∠IFG＝90°，

∴四邊形FGHI是正方形；

(4)答案不唯一，如：①△ABD′和△ACE′全等嗎？

②△BDD′和△CEE′全等嗎？

③∠BD′D和∠CE′E相等嗎？

④四邊形AD′DE是菱形嗎？，