Question

如圖，△ABC內接于⊙O, AD是⊙O直徑, E是CB延長線上一點, 且ÐBAE=ÐC.

（1）求證：直線AE是⊙O的切線；

（2）若EB=AB , ,  AE=24，求EB的長及⊙O的半徑．

Answer 1

（1）證明：連結BD.   

∵ AD是⊙O的直徑，

∴∠ABD =90°.

∴∠1+∠D =90°.

∵∠C=∠D，∠C=∠BAE，

∴∠D=∠BAE.     

∴∠1+∠BAE=90°.

即 ∠DAE=90°.

∵AD是⊙O的直徑，

∴直線AE是⊙O的切線.   

（2）解: 過點B作BF⊥AE于點F, 則∠BFE=90°.

   ∵ EB=AB,

           ∴∠E=∠BAE, EF=AE=×24=12. 

           ∵∠BFE=90°, ,

           ∴=15.           ∴ AB=15.           

           由（1）∠D=∠BAE，又∠E=∠BAE,  

           ∴∠D=∠E.

∵∠ABD=90°,

           ∴  .                設BD=4k，則AD＝5k.

           在Rt △ABD中, 由勾股定理得AB＝=3k, 可求得k=5.      

           ∴

           ∴⊙O的半徑為.