Question

已知正三角形的內切圓的半徑為r，外接圓的半徑為R，則r：R=

1：2

．

Answer 1

分析：作出輔助線OD、OE，證明△AOD為直角三角形且∠OAD為30°，即可求出OD、OA的比．

解答：解：如圖，連接OD、OE；
因為AB、AC切圓O與E、D，
所以OE⊥AB，OD⊥AC，
在Rt△AEO和Rt△ADO中，

AO=AO EO=DO

，
∴△AEO≌△ADO（HL），
故∠DAO=∠EAO；
又∵△ABC為等邊三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠OAC=60°×

1

2

=30°，
∴OD：AO=1：2．
等邊三角形的內切圓半徑與外接圓半徑的比是1：2．
故答案為：1：2．

點評：此題主要考查了等邊三角形內心與外心的知識，找到直角三角形，將三角形內切圓和三角形外接圓聯(lián)系起來是解題的關鍵．