Question

如圖(1)，分別以兩個彼此相鄰的正方形OABC與CDEF的邊OC、OA所在直線為軸、 軸建立平面直角坐標系(O、C、F三點在x軸正半軸上).若⊙P過A、B、E三點(圓心在軸上)交y軸于另一點Q，拋物線經過A、C兩點，與軸的另一交點為G，M是FG的中點，B點坐標為(2，2).
【小題1】求拋物線的函數解析式和點E的坐標；
【小題2】求證：ME是⊙P的切線；

Answer 1

【小題1】解：如圖甲，連接PE、PB，設PC=n，

∵正方形CDEF的面積為1，
∴CD=CF=1，
根據圓和正方形的對稱性知：OP=PC=n，
∴BC=2PC=2n，
∵而PB=PE，
∴PB²=BC²+PC²=4n²+n²=5n²，PE²=PF²+EF²=（n+1）²+1，
∴5n²=（n+1）²+1，
解得：n=1或n=-（舍去），
∴BC=OC=2，
∴B點坐標為（2，2）；(6分)
【小題2】證明：如圖甲，由（1）知A（0，2），C（2，0），
∵A，C在拋物線上，
∴，
解得：，
∴拋物線的解析式為：y=x²-x+2=（x-3）²-，
∴拋物線的對稱軸為x=3，即EF所在直線，
∵C與G關于直線x=3對稱，
∴CF=FG=1，
∴MF=FG=，
在Rt△PEF與Rt△EMF中，
∠EFM=∠EFP，
∵，，
∴，
∴△PEF∽△EMF，
∴∠EPF=∠FEM，
∴∠PEM=∠PEF+∠FEM=∠PEF+∠EPF=90°，
∴ME是⊙P的切線；（12分）解析:
（1）如圖甲，連接PE、PB，設PC=n，由正方形CDEF的面積為1，可得CD=CF=1，根據圓和正方形的對稱性知：OP=PC=n，由PB=PE，根據勾股定理即可求得n的值，繼而求得B的坐標；
（2）由（1）知A（0，2），C（2，0），即可求得拋物線的解析式，然后求得FM的長，則可得△PEF∽△EMF，則可證得∠PEM=90°，即ME是⊙P的切線；