Question

如圖，拋物線F：的頂點為P，拋物線：與y軸交于點A，與直線OP交于點B．過點P作PD⊥x軸于點D，平移拋物線F使其經過點A、D得到拋物線F′：，拋物線F′與x軸的另一個交點為C．

⑴當a = 1，b=－2，c = 3時，求點C的坐標(直接寫出答案)；
⑵若a、b、c滿足了
①求b：b′的值；
②探究四邊形OABC的形狀，并說明理由．

Answer 1

解：（1） C（3，0）；
（2）①拋物線，令=0，則=，
∴A點坐標（0，c）．
∵，∴ ，
∴點P的坐標為（）．
∵PD⊥軸于D，∴點D的坐標為（）．
根據題意，得a=a′，c= c′，∴拋物線F′的解析式為．
又∵拋物線F′經過點D（），∴．
∴．
又∵，∴．
∴b:b′=．
②由①得，拋物線F′為．
令y=0，則．
∴．
∵點D的橫坐標為∴點C的坐標為（）．
設直線OP的解析式為．
∵點P的坐標為（），
∴，∴，∴．
∵點B是拋物線F與直線OP的交點，∴．
∴．
∵點P的橫坐標為，∴點B的橫坐標為．
把代入，得．
∴點B的坐標為．
∴BC∥OA，AB∥OC．（或BC∥OA，BC =OA），
∴四邊形OABC是平行四邊形．
又∵∠AOC=90°，∴四邊形OABC是矩形．

解析