Question

在斜坡A處立一旗桿AB（旗桿與水平面垂直），一小球從斜坡O點拋出（如圖），小球擦旗桿頂B而過，落地時撞擊斜坡的落點為C，已知A點與O點的距離為

5

2

米，旗桿AB高為3米，C點的垂直高度為3.5米，C點與O點的水平距離為7米，以O為坐標原點，水平方向與豎直方向分別為x軸、y軸，建立直角坐標系．
（1）求小球經過的拋物線的解析式（小球的直徑忽略不計）；
（2）H為小球所能達到的最高點，求OH與水平線Ox之間夾角的正切值．

Answer 1

分析：（1）根據題意需求B、C兩點坐標，C點坐標由題意易知為（7，3.5），所以重點求B點坐標．如圖，根據

AE

OE

=

CD

OD

=

3.5

7

=

1

2

，結合OA=

5

2

，可求A點坐標，從而求出B點坐標．由拋物線過O、B、C三點求出解析式；
（2）tan∠HOF=

HF

OF

，即頂點H的縱坐標與橫坐標之比，求頂點坐標求解．

解答：解：（1）作CD⊥OX于D點，HF⊥OX于F，延長BA交OX于E點．
根據題意知C（7，3.5），

AE

OE

=

CD

OD

=

3.5

7

=

1

2

，即OE=2AE，
又OA=

5

2

，根據勾股定理可得AE=

1

2

，OE=1，
所以BE=BA+AE=3.5，B點坐標為B（1，3.5）．
設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c．
∵拋物線經過點O（0，0）、B（1，3.5）、C（7，3.5），
∴

c=0 a+b+c=3.5 49a+7b+c=3.5

解得

a=- 1 2 b=4 c=0

∴拋物線的解析式為y=-

1

2

x²+4x

（2）y=-

1

2

x²+4x=-

1

2

（x²-8x）=-

1

2

（x-4）²+8，
所以頂點H（4，8），tan∠HOF=

HF

OF

=

8

4

=2．

點評：此題關鍵是求B點坐標，需運用相似形及解直角三角形知識綜合解答．