Question

已知關于的方程
（1）求證：方程恒有兩個不相等的實數根；
（2）若此方程的一個根是1，請求出方程的另一個根，并求以此兩根為邊長的直角三角形的周長．

Answer 1

(1)證明見解析；（2）4+或4+．

試題分析：（1）根據關于x的方程x²-（m+2）x+（2m-1）=0的根的判別式的符號來證明結論；
（2）根據一元二次方程的解的定義求得m值，然后由根與系數的關系求得方程的另一根．分類討論：①當該直角三角形的兩直角邊是1、3時，由勾股定理得斜邊的長度為；②當該直角三角形的直角邊和斜邊分別是1、3時，由勾股定理得該直角三角形的另一直角邊為；再根據三角形的周長公式進行計算．
試題解析：（1）證明：∵△=（m+2）²-4（2m-1）=（m-2）²+4，
∴在實數范圍內，m無論取何值，（m-2）²+4＞0，即△＞0，
∴關于x的方程x²-（m+2）x+（2m-1）=0恒有兩個不相等的實數根；
（2）解：根據題意，得
1²-1×（m+2）+（2m-1）=0，
解得，m=2，
則方程的另一根為：m+2-1=2+1=3；
①當該直角三角形的兩直角邊是1、3時，由勾股定理得斜邊的長度為；
該直角三角形的周長為1+3+=4+；
②當該直角三角形的直角邊和斜邊分別是1、3時，由勾股定理得該直角三角形的另一直角邊為；則該直角三角形的周長為1+3+=4+．