Question

17．已知拋物線y=ax²+bx+c交x軸于A（-1，0）和B點（B點在點A右側），與y軸交于點C，其頂點的坐標為（$\frac{3}{2}$，-$\frac{25}{4}$）．
（1）求拋物線的解析式，并求B、C兩點的坐標．
（2）如圖1，若平行于x軸的一條動直線L₁交直線BC于點P，且x軸有一點D（2，0），當三角形ODP為等腰三角形時，求點P的坐標．
（3）如圖2，若垂直x軸的另一條動直線L₂交拋物線于E點，交線段BC于F點，交x軸于H點，三角形BCE的面積是否存在最大值？若存在，求出它的最大值，并求此時點E的坐標；若不存在請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據函數值相等的兩點關于對稱軸對稱，可得B點坐標，根據待定系數法，可得函數解析式；根據自變量與函數值的對應關系，可得C點坐標；
（2）根據等腰三角形的定義，可得關于m的方程，根據解方程，可得m，根據自變量與函數值的對應關系，可得P點坐標；
（3）根據平行于y軸的直線上兩點間的距離是較大的縱坐標減較小的縱坐標，可得EF的長，根據面積的和差，可得二次函數，根據二次函數的性質，可得m的值，面積的最大值；根據自變量與函數值的對應關系，可得E點坐標．

解答 解：（1）由頂點坐標為（$\frac{3}{2}$，-$\frac{25}{4}$），得對稱軸為x=$\frac{3}{2}$．
由A、B關于對稱軸對稱，得
$\frac{3}{2}$-（-1）=$\frac{5}{2}$，$\frac{3}{2}$+$\frac{5}{2}$=4，即B點坐標為（4，0）．
將A、B、頂點坐標代入函數解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{16a+4b+c=0}\\{\frac{9}{4}a+\frac{3}{2}b+4c=-\frac{25}{4}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-3}\\{c=-4}\end{array}\right.$，
拋物線的解析式為y=x²-3x-4；
當x=0時，y=-4，即C點坐標為（0，-4）；
（2）如圖1：
，
設BC的解析式為y=kx+b，將B、C點坐標代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=-4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
BC的解析式為y=x-4，
P在BC上，設P（m，m-4），OP²=m²+（m-4）²，PD²=（m-2）²+（m-4）²，OD²=4．
當PO=OD時，m²+（m-4）²=4化簡，得m²-4m+6=0，方程無解；
當PO=PD時，m²+（m-4）²=（m-2）²+（m-4）²，化簡，得4m-4=0，解得m=1，m-4=-3，即P（1，-3）；
當OD=PD時，（m-2）²+（m-4）²=4，化簡，得m²-6m+8=0，解得m=2，m=4（不符合題意，舍），m-4=-2，即P（2，-2）；
綜上所述：當三角形ODP為等腰三角形時，點P的坐標（1，-3），（2，-2）；
（3）如圖2：
，
E在拋物線上，F在BC上，設E（m，m²-3m-4），F（m，m-4），
EF=m-4-（m²-3m-4）=-m²+4m=-（m-2）²+4，
S_△BCE=S_△BEF+S_△CEF
=$\frac{1}{2}$FE•BH+$\frac{1}{2}$EF•O
H=$\frac{1}{2}$EF•OB
=$\frac{1}{2}$[-（m-2）²+4]×4
當m=2時，S_最大=8，
當m=2時，m-4=2-4=-2，即E（2，-2）．

點評 本題考查了二次函數綜合題，利用函數值相等的兩點關于對稱軸對稱得出B點坐標是解題關鍵；利用等腰三角形的定義得出關于m的方程式解題關鍵，要分類討論，以防遺漏；利用三角形的面積的和差得出二次函數是解題關鍵．