Question

22、如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，D為BC邊上的一個動點，E、F分別是AC、AB邊上的點，且DF∥AC、CE=DE．
（1）證明：四邊形DEAF是平行四邊形；
（2）當點D在BC邊上運動時，（DF∥AC、CE=DE保持不變，）那么是否存在點D，使四邊形AFDE為菱形（不再增添輔助線），并請證明你的結論．
（這樣改動的目的是使學生明白當點D運動時，E、F也在運動．）

Answer 1

分析：（1）可通過證明AF∥DE來得出結論，根據兩組相等邊，可得出∠B=∠C，∠EDC=∠C，那么∠EDC=∠B，由此可得出AF∥DE，再根據DF∥AC即可得出本題所求的結論．
（2）存在這樣的D點，因為首先AFDE是個平行四邊形，要使其成為菱形，那么AE=DE=CE，DE就是三角形ABC的中位線，那么此時D是BC的中點．

解答：證明：
（1）∵DF∥AC，
∴∠FDC=∠C．
又∵AB=AC，CE=DE，
∴∠B=∠C，∠EDC=∠C．
∴∠B=∠EDC．
∴DE∥AB．
又∵DF∥AC，
∴四邊形DEAF是平行四邊形．

（2）當點D運動到BC的中點處時，四邊形DEAF是菱形；
由（1）可知：∠B=∠C，
∠EDB=∠FDC，
又∵BC=CD，
∴△BDE≌△CDF．
∴DE=DF且四邊形DEAF是平行四邊形．
∴四邊形DEAF是菱形．

點評：本題主要考查了等腰三角形的性質，平行四邊形和菱形的判定等知識點．