Question

一組數據的方差是2，將這組數據都擴大3倍，則所得一組新數據的方差是（　　）

• A、2
• B、6
• C、32
• D、18

Answer 1

分析：設數據分別為x₁，x₂，…，x_n平均數

.

x

=

1

n

（x₁+x₂+…+x_n）
方差s²=

1

n

[[（x₁-

.

x

）²+（x₂-

.

x

）²+…+（x_n-

.

x

）²]=

1

n

[（x₁²+x₂²+…+x_n²）-2

.

x

（x₁+x₂+…+x_n）+n

.

x

²]=2．列出新數據平均數和方差式子，比較可得．

解答：解：樣本x₁，x₂，…，x_n的平均數

.

x

=

1

n

（x₁+x₂+…+x_n）
方差s²=

1

n

[[（x₁-

.

x

）²+（x₂-

.

x

）²+…+（x_n-

.

x

）²]=

1

n

[（x₁²+x₂²+…+x_n²）-2

.

x

（x₁+x₂+…+x_n）+n

.

x

²]=2
新數據3x₁，3x₂，…，3x_n的平均數

.

x

₂=

1

n

（3x₁+3x₂+…+3x_n）=3

.

x

方差s₂²=

1

n

[（3x₁-3

.

x

）²+（3x₂-3

.

x

）²+…+（3x_n-3

.

x

）²]=

1

n

[9（x₁²+x₂²+…+x_n²）+2×9

.

x

（x₁+x₂+…+x_n）+9×n

.

x

²]=9×

1

n

[（x₁²+x₂²+…+x_n²）-2

.

x

（x₁+x₂+…+x_n）+n

.

x

²]]=9×2=18．
故選D．

點評：本題考查了方差的計算公式．一般地設n個數據，x₁，x₂，…x_n的平均數

.

x

=

1

n

（x₁+x₂+x₃…+x_n），則方差S²=

1

n

[（x₁-

.

x

）²+（x₂-

.

x

）²+…+（x_n-

.

x

）²]，它反映了一組數據的波動大小，方差越大，波動性越大，方差越小，波動性越小．