Question

如圖，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，PO的延長(zhǎng)線與⊙O交于點(diǎn)C，若⊙O的半徑為3，PA=4．弦AC的長(zhǎng)為（ ）

A．5
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：連接AO，AB，因?yàn)镻A是切線，所以∠PAO=90°，在Rt△PAO中，PA=4，OA=3，故PO=5，所以PB=2；BC是直徑，所以∠BAC=90°，∠PAB和∠CAO都是∠BAO的余角，
進(jìn)而證明△PAB∽△PCA，利用相似三角形的性質(zhì)即可求出BA和AC的比值，進(jìn)一步利用勾股定理即可求出AC的長(zhǎng)．
解答：解：連接AO，AB，因?yàn)镻A是切線，所以∠PAO=90°，在Rt△PAO中，PA=4，OA=3，故PO=5，
所以PB=2；BC是直徑，
所以∠BAC=90°，
因?yàn)椤螾AB和∠CAO都是∠BAO的余角，
所以∠PAB=∠CAO，
又因?yàn)椤螩AO=∠ACO，
所以∠PAB=∠ACO，
又因?yàn)椤螾是公共角，
所以△PAB∽△PCA，
故，
所以，在RT△BAC中，AB²+（2AB）²=6²；
解得：AB=，
所以AC=
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，題目的綜合性很強(qiáng)，難度中等．