Question

已知abc≠0，證明：四個(gè)數(shù)

(a+b+c)3

abc

、

(b-c-a)3

abc

、

(c-a-b)3

abc

、

(a-b-c)3

abc

中至少有一個(gè)不小于6．

Answer 1

因?yàn)?span mathtag="math" >

(a+b+c) 3

abc

+

(b-c-a) 3

abc

+

(c-a-b) 3

abc

+

(a-b-c) 3

abc

=

[(a+b+c) 3+(b-c-a) 3]

abc

+

[(c-a-b) 3+(a-b-c) 3]

abc

=

2b(3a 2+b 2+3c 2+6ac)

abc

-

2b(3a 2+b 2+3c 2-6ac)

abc

=

24abc

abc

=24．①
若

(a+b+c) 3

abc

＜6，

(b-c-a) 3

abc

＜6，

(c-a-b) 3

abc

＜6，

(a-b-c) 3

abc

＜6．
則它們的和必小于24，這與①矛盾，
故四個(gè)加數(shù)中至少有一個(gè)不小于6．