Question

如圖，已知△ABC是等邊三角形，D、E分別在邊BC、AC上，且CD=CE，連結DE并延長至點F，使EF=AE，連結AF、BE和CF．
（1）請在圖中找出一對全等三角形，并加以證明．
（2）判斷四邊形ABDF是怎樣的四邊形，并說明理由．
（3）若∠ABE=40°，求∠CFE的度數．

Answer 1

分析：（1）根據已知條件可以判定△ABC、△DCE均為等邊三角形，由等邊三角形的三個內角相等、三條邊相等，利用全等三角形的判定定理SAS可以證得結論；
（2）四邊形ABDF是平行四邊形；利用（1）中的三個等邊三角形△ABC、△AEF、△DCE可以推知同位角∠CDE=∠ABC，內錯角∠CDE=∠EFA．所以利用平行的線的判定定理可以證得四邊形ABDF的對邊相互平行；
（3）利用全等三角形的性質以及等邊三角形的性質得出即可．

解答：（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴AC=BC=AB，∠ACB=60°；
又∵CD=CE，
∴△EDC是等邊三角形，
∴DE=CD=CE，∠DCE=∠EDC=60°，
∵EF=AE，
∴EF+DE=AE+CE，
∴FD=AC=BC，
在△BCE和△FDC中，

BC=FD ∠BCE=∠CDF CE=CD

，
∴△BCE≌△FDC（SAS）；

（2）解：四邊形ABDF是平行四邊形；
理由如下：
∵由（1）知△ABC、△AEF、△DCE均為等邊三角形，
∴∠CDE=∠ABC=∠EFA=60°，
∴AB∥FD，BD∥AF，
∴四邊形ABDF是平行四邊形；

（3）解：∵△BCE≌△FDC，
∴∠EBC=∠CFD，
∵∠ABC=60°，∠ABE=40°，
∴∠CBE=∠CFE=20°．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質、等邊三角形的性質以及平行四邊形的判定．平行四邊形的判定定理：①對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；②兩組對邊相互平行的四邊形是平行四邊形；③對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．