Question

已知abc≠0，證明：四個數(shù)

(a+b+c)3

abc

、

(b-c-a)3

abc

、

(c-a-b)3

abc

、

(a-b-c)3

abc

中至少有一個不小于6．

Answer 1

分析：整體考慮，求出這四個數(shù)的和，只需證明它們的和大于等于24即可，將

(a+b+c) 3

abc

，

(c-a-b) 3

abc

與

(b-c-a) 3

abc

，

(a-b-c) 3

abc

結(jié)合運用立方差公式進行通分，化簡得出四個數(shù)的和為24，再從每一項都小于6，分析得出假設(shè)不成立，原命題正確．

解答：解：因為

(a+b+c) 3

abc

+

(b-c-a) 3

abc

+

(c-a-b) 3

abc

+

(a-b-c) 3

abc

=

[(a+b+c) 3+(b-c-a) 3]

abc

+

[(c-a-b) 3+(a-b-c) 3]

abc

=

2b(3a 2+b 2+3c 2+6ac)

abc

-

2b(3a 2+b 2+3c 2-6ac)

abc

=

24abc

abc

=24．①
若

(a+b+c) 3

abc

＜6，

(b-c-a) 3

abc

＜6，

(c-a-b) 3

abc

＜6，

(a-b-c) 3

abc

＜6．
則它們的和必小于24，這與①矛盾，
故四個加數(shù)中至少有一個不小于6．

點評：此題主要考查了分式的等式證明，證明結(jié)論四個數(shù)中至少有一個不小于6，可以從四個數(shù)都小于6，得出矛盾，從而得出原命題的正確性．