Question

如圖，以點O為圓心的兩個同心圓中，矩形ABCD的邊BC為大圓的弦，邊AD與小圓相切于點M，OM的延長線與BC相交于點N．
（1）點N是線段BC的中點嗎？為什么？
（2）若圓環的寬度（兩圓半徑之差）為6cm，AB=5cm，BC=10cm，求小圓的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）由AD是小圓的切線可知OM⊥AD，再由四邊形ABCD是矩形可知，AD∥BC，AB=CD，故ON⊥BC，由垂徑定理即可得出結論；
（2）延長ON交大圓于點E，由于圓環的寬度（兩圓半徑之差）為6cm，AB=5cm可知ME=6cm，在Rt△OBE中，利用勾股定理即可求出OM的長．
解答：解：（1）∵AD是小圓的切線，M為切點，
∴OM⊥AD，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴ON⊥BC，
∴N是BC的中點；

（2）延長ON交大圓于點E，連接OB，
∵圓環的寬度（兩圓半徑之差）為6cm，AB=5cm，
∴EN=6-5=1cm，
∴ME=6cm，
在Rt△OBN中，設OM=r，
OB²=BN²+（OM+MN）²，
即（r+6）²=5²+（r+5）²，
解得r=7cm，
故小圓半徑為7cm．
點評：本題考查的是垂徑定理，涉及到切線的性質及勾股定理、矩形的性質，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．