Question

如圖，已知拋物線的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸與x軸交于點D． 點M從O點出發，以每秒1個單位長度的速度向B運動，過M作x軸的垂線，交拋物線于點P，交BC于Q．
（1）求點B和點C的坐標；
（2）設當點M運動了x（秒）時，四邊形OBPC的面積為S，求S與x的函數關系式，并指出自變量x的取值范圍；
（3）在線段BC上是否存在點Q，使得△DBQ成為以BQ為一腰的等腰三角形？若存在，
求出點Q的坐標；若不存在，說明理由；
（4）在拋物線上是否存在點P，使得△MBQ與△CPQ相似？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）把x=0代入y=-x²+x+2得點C的坐標為C（0，2），
把y=0代入y=-x²+x+2得點B的坐標為B（3，0）；

（2）如圖1，連接OP，設點P的坐標為P（x，y）
S_{四邊形OBPC}=S_△OPC+S_△OPB=×2×x+×3×y，
=x+（-x²+x+2），
=-x²+3x+3，
∵點M運動到B點上停止，
∴0≤x≤3，
∴S=-（x-）²+（0≤x≤3）；

（3）存在．
∵BC==，
①如圖2，若BQ=DQ，
∵BQ=DQ，BD=2，∴BM=1，
∴OM=3-1=2，
∴tan∠OBC===，
∴QM=，
所以Q的坐標為Q（2，）．
②如圖3，若BQ=BD=2，
∵QM∥CO，
∴△BQM∽△BCO，
∴==，
∴=，
∴QM=，
∵=，
∴=，
∴BM=，
∴OM=3-，
∴Q點的坐標為：（3-，）；

（4）如圖4，當△MBQ∽△PCQ，
則∠BMQ=∠QPC=90°，
此時PC∥AB，
故P點縱坐標為：2，代入二次函數解析式，即可得出：
2=-x²+x+2，
解得：x=0或2，
故P點坐標為：（2，2），
當△MBQ∽△CPQ，
則∠PCQ=∠BMQ=90°，
即PC⊥BC，
∵C點坐標為：（0，2），B點坐標為：（3，0），
設直線BC的解析式為：y=kx+b，
則，
解得：k=-，
則直線BC的解析式為：y=-x+2，
故與直線BC垂直且過C點的直線EF解析式為：y=x+2，
將y=x+2與y=-x²+x+2聯立得：
x+2=-x²+x+2，
解得：x=0或-，
則y=2或，
當x=-時，P點在第2象限，故此時不符合題意，
綜上所述，拋物線上存在點P，使得△MBQ∽△PCQ，此時P點坐標為：（2，2）．
分析：（1）已知拋物線解析式，令y=0，x=0，可求B、C兩點坐標；
（2）設點P的坐標為P（x，y），由S_{四邊形OBPC}=S_△OPC+S_△OPB可列出S與x的函數關系式，由于B（3，0），得出0≤x≤3；
（3）根據BQ為一腰，有兩種可能：①BQ=DQ，②BQ=BD=2，都可由相似三角形的對應邊的比，求出OM、MQ的長；
（4）根據當△MBQ∽△PCQ以及當△MBQ∽△CPQ，分別進行計算得出P點坐標即可．
點評：本題考查了二次函數解析式的運用，坐標系里面積表示方法，及尋找特殊三角形的條件問題，涉及分類討論和相似三角形的運用，根據已知與圖形進行分類討論是解題關鍵．