Question

如圖，過反比例函數y=

4

x

圖象上一點A分別向x軸，y軸作垂線，垂足分別為點B，C，兩條垂線與坐標軸所圍成的圖形為正方形，過點A的一次函數y=kx+1與x軸、y軸分別交于點D、E，作EF∥x軸，分別交AB和反比函數圖象于點G、F，連接BF，AF．
（1）求點A的坐標和一次函數解析式；
（2）求四邊形ADBF的面積；
（3）猜想線段DE和線段BF有怎樣的關系，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）根據反比函數比例系數k的幾何意義，求出正方形ABOC的面積，利用OB=OA，求出A的坐標；將A的坐標代入解析式即可求出一次函數中k的值，從而得到一次函數解析式；
（2）計算出E點坐標、F點坐標，求出DB、AB、GF的長，計算出S_△ADB+S_△ABF的值即為四邊形ADBF的面積．
（3）根據E、F及D、B的坐標，求出EF和DB的長，再根據EF∥DB，判斷出四邊形DBFE為平行四邊形，從而得到線段DE和線段BF的關系．

解答：解：（1）∵點A在反比例函數y=

4

x

圖象上，
反比例函數比例系數為4，
則正方形ABOC的面積為4，
即OB×AB=4，
AB=OB=2，
A點坐標為（2，2）．
將A（2，2）代入y=kx+1得，2k+1=2，k=

1

2

，
函數解析式為y=

1

2

x+1．

（2）設E點坐標為（0，e），代入y=

1

2

x+1得，e=1．
由于EF∥x軸，
可得F點縱坐標為1，
將y=1代入y=

4

x

得，x=4，F點坐標為（4，1）．
設D點坐標為（d，0），代入y=

1

2

x+1得，0=

1

2

d+1，
d=-2，D點坐標為（-2，0）．
S_{四邊形ADBF}=S_△ADB+S_△ABF=

1

2

×4×2+

1

2

×2×2=4+2=6．

（3）∵EF=DB=4，EF∥DB，
∴四邊形DBFE為平行四邊形，
則DE與BF平行且相等．

點評：本題考查了反比例函數綜合題，涉及待定系數法求函數解析式、反比例函數k的幾何意義、平行四邊形的判定和性質、坐標與函數的關系等，要結合圖形進行探究方可順利解答．