Question

【題目】如圖，等邊△ABC的邊長為8，AD是BC邊上的中線，點E是AC邊上的一點，AE=2，若點M是線段AD上的一個動點，則ME+MC的最小值為____.

Answer 1

【答案】

【解析】

由等邊三角形的性質可知B、C關于AD對稱，根據兩點之間線段最短可知，連接BE，此時BE就是ME+MC的最小值.

如下圖所示，連接BE，過E作EF⊥AD于F，

∵△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的中線，

∴AD⊥BC，

∴AD是BC的垂直平分線，

∴點C關于AD的對應點為點B，

∴BE就是EM+CM的最小值.

∵等邊△ABC的邊長為8，AE=2，

∴

∵EF⊥AD，AD⊥BC，

∴EF∥BC，

∴

∴

在Rt△AEF中，∠EAF=30°，AE=2，

∴EF=AE=1，

在Rt△ABD中，

∴DF=AD-AF=

∵

∴

在Rt△EFM中，

又∵

∴BE=5EM=

∴EM+CM的最小值為.