Question

【題目】已知拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，點和點的坐標分別為，拋物線的對稱軸為，為拋物線的頂點．

求拋物線的解析式．

拋物線的對稱軸上是否存在一點，使為等腰三角形？若存在，寫出點點的坐標，若不存在，說明理由．

點為線段上一動點，過點作軸的垂線，與拋物線交于點，求四邊形面積的最大值，以及此時點的坐標．

Answer 1

【答案】；存在滿足條件的點，其坐標為或或或；四邊形面積的最大值，此時點的坐標為．

【解析】

（1）由B、C的坐標，結合拋物線對稱軸，根據待定系數法可求得拋物線解析式；
（2）由拋物線解析式可求得D點坐標，可設P點坐標為（1，t），則可表示出PC、PD和CD的長，由等腰三角形可分PC=PD、PC=CD和PD=CD三種情況分別得到關于t的方程，可求得P點坐標；

（3）由B、C可求得直線BC解析式，可設出F點坐標，則可表示出E點坐標，從而可求得EF的長，則可表示出△CBF的面積，從而可表示出四邊形ACFB的面積，再利用二次函數的性質可求得其最大值，及E點的坐標．

∵點和點的坐標分別為，拋物線的對稱軸為，

∴，解得，

∴拋物線解析式為；

∵，

∴，且，

∵點為對稱軸上的一點，

∴可設，

∴，，，

∵為等腰三角形，

∴分、和三種情況，

①當時，則，解得，此時點坐標為；

②當時，則，解得或（與點重合，舍去），此時點坐標為；

③當時，則，解得或，此時點坐標為或；

綜上可知存在滿足條件的點，其坐標為或或或；

∵，，

∴直線解析式為，

∵點在直線上，點在拋物線上，

∴設，，

∵點在線段下方，

∴，

∴，且，

∴，

∵，

∴當時，有最大值，最大值為，此時點坐標為，

綜上可知四邊形面積的最大值，此時點的坐標為．