Question

【題目】矩形OABC的邊OC、OA分別位于x、y軸上，點A（0，﹣4）、B（6，﹣4）、C（6，0），拋物線y＝ax2+bx經過點O和點C，頂點M（3，﹣），點N是拋物線上一動點，直線MN交直線AB于點E，交y軸于F，△A′EF是將△AEF沿直線MN翻折后的圖形．

（1）求拋物線的解析式；

（2）當四邊AEA′F是正方形時，求點N的坐標．

（3）連接CA′，求CA′的最小值．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣3x；（2）；（3）.

【解析】

（1）根據待定系數法進行求解即可得到答案；

（2）根據正方形的性質，聯立y＝﹣x﹣與y＝x2﹣3x，即可得到答案；

（3）根據圓的性質即可得到答案.

解：（1）由已知可知C（6，0），M（3，﹣），代入y＝ax2+bx，得

，

∴

∴y＝x2﹣3x；

（2）當四邊AEA′F是正方形時，

直線MF與x軸成角45°，

∴MF直線解析式為y＝﹣x﹣，

聯立y＝﹣x﹣與y＝x2﹣3x，可得

x＝1或x＝3（舍）

∴N（1，﹣）；

（3）A'的運動軌跡是以M為圓心MA為半徑的圓，

∵MA＝3，MC＝，

∴CA'最小值為；