Question

【題目】如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中，點(diǎn)P為AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接DB、DP，AE⊥DP于E．

（1）如圖①，若P為AB的中點(diǎn)，則=　 　； =　 　；

（2）如圖②，若時(shí)，證明：AC=4BF；

（3）如圖③，若P在BA的延長(zhǎng)線上，當(dāng)=　 　時(shí)，．

Answer 1

【答案】（1），；（2）詳見解析；（3）.

【解析】

（1）延長(zhǎng)AF交BC于M，證△ABM≌△DAP，得BM=AP，再根據(jù)△MBF∽△ADF對(duì)應(yīng)邊成比例列出比例式=，然后再根據(jù)正方形的邊長(zhǎng)相等，對(duì)角線相等進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可求解；

（2）先根據(jù)已知條件求出=，然后同（1）的方法作出輔助線即可進(jìn)行證明；

（3）同前兩小題的思路，延長(zhǎng)CB交AF于點(diǎn)M，然后同（1）的求解思路進(jìn)行求解計(jì)算．

（1）延長(zhǎng)AF交BC于M，∴∠BAM+∠AMB=90°．

∵AE⊥DP，∴∠BAM+∠DPA=90°，∴∠AMB=∠DPA．

在△ABM和△DAP中，∵，∴△ABM≌△DAP（AAS），∴AP=BM（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）．

∵四邊形ABCD是正方形，∴BC∥AD，∴△MBF∽△ADF，∴=．

∵點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)，∴AP=BM=AB=AD，∴==，∴==，即=．

又∵AC=BD，∴=．

故答案為：；

（2）∵=，∴==，即=，方法同（1），延長(zhǎng)AF交BC于M，則===，∴==，即=．

∵正方形的對(duì)角線AC=BD，∴=，∴AC=4BF；

（3）延長(zhǎng)CB交AF于點(diǎn)M，方法同（1）可得：==，∴=，∴=，即=．

∵正方形的對(duì)角線AC=BD，∴=．

故答案為：．