Question

14．如圖，在直角坐標系中矩形OABC的頂點O與坐標原點重合．點A、C分別在坐標軸上，反比例函數y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的圖象與AB、BC分別交于點E、F（E、F不與B點重合），連接OE，OF．
（1）若B點的坐標為（4，2），且E為AB的中點．
①求四邊形BEOF的面積．
②求證：F為BC的中點．
（2）猜想$\frac{AE}{BE}$與$\frac{CF}{BF}$的大小關系，并證明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）①由B的坐標得到AB與BC的長，進而求出矩形OCBA的面積，由B坐標，根據E為AB中點，求出E坐標，代入反比例解析式求出k的值，利用反比例函數k的幾何意義求出三角形AEO與三角形OCF的面積，由矩形ABCO面積-三角形AOE面積-三角形OCF面積=四邊形BEOF面積，求出即可；②連接OB，由矩形面積求出三角形OBC面積，由三角形OCF面積得到三角形OBC面積為三角形OCF面積的2倍，而兩三角形高相同，故底BC=2CF，即F為中點，得知；
（2）$\frac{AE}{BE}$=$\frac{CF}{BF}$，理由為：設B點坐標為（a，b）（a＞0，b＞0），表示出A，C，E，F坐標，進而表示出AE，BE，CF，BF，分別求出$\frac{AE}{BE}$與$\frac{CF}{BF}$的值，驗證即可．

解答 解：（1）①∵B點的坐標為（4，2），
∴S_矩形OCBA=4×2=8，
∵E為AB的中點，
∴E點的坐標為（2，2），
∵點E、F在雙曲線上，
∴k=4，
∴S_△AEO=S_△FCO=$\frac{1}{2}$k=2，
∴S_{四邊形BE0F}=S_矩形ABCO-S_△AEO-S_△OFC=8-2-2=4；
②連接OB，

易知S_△OBC=$\frac{1}{2}$S_矩形ABCO=4，
∵S_△OFC=2，
∴S_△OBC=2S_△OFC，
∵S_△OCF=$\frac{1}{2}$S_△OBC，
∴BC=2FC，
∴F為BC的中點；
（2）$\frac{AE}{BE}$=$\frac{CF}{BF}$，理由為：
設B點坐標為（a，b）（a＞0，b＞0），
則點A（0，b），C（a，0），E（$\frac{k}$，b），F（a，$\frac{k}{a}$），
∴AE=|$\frac{k}$|，BE=|a-$\frac{k}$|=|$\frac{ab-k}$|，CF=|$\frac{k}{a}$|，BF=|b-$\frac{k}{a}$|=|$\frac{ab-k}{a}$|，
∴$\frac{AE}{BE}$=$\frac{|\frac{k}|}{|\frac{ab-k}|}$=|$\frac{k}{ab-k}$|，$\frac{CF}{BF}$=$\frac{|\frac{k}{a}|}{|\frac{ab-k}{a}|}$=|$\frac{k}{ab-k}$|，
則$\frac{AE}{BE}$=$\frac{CF}{BF}$．

點評 此題考查了反比例函數綜合題，涉及的知識有：反比例函數k的幾何意義，坐標與圖形性質，矩形的性質，熟練掌握反比例函數的性質是解本題的關鍵．