Question

直線y=kx+b（k≠0）與坐標軸分別交于A、B兩點，OA、OB的長分別是方程x²-14x+48=0的兩根（OA＞OB），動點P從O點出發，沿路線O?B?A以每秒1個單位長度的速度運動，到達A點時運動停止．
（1）直接寫出A、B兩點的坐標；
（2）設點P的運動時間為t（秒），△OPA的面積為S，求S與t之間的函數關系式（不必寫出自變量的取值范圍）；
（3）當S=12時，直接寫出點P的坐標，此時，在坐標軸上是否存在點M，使以O、A、P、M為頂點的四邊形是梯形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）解方程x²-14x+48=0求出方程的兩根，就得到A，B的坐標；
（2）當點P在OB上運動時，OP₁=t，即三角形OA邊上的高是OP，則面積就可以求出；當點P在BA上運動時，作P₂D⊥OA于點D，根據△AP₂D∽△ABO就可以表示出P₂D，則△OP₂A的面積就可以表示出來，從而得到函數解析式；
（3）本題應分當點P在OB上運動和當點P在BA上運動兩種情況進行討論，兩種情況下對應的函數解析式已經求出，可以求出相應的t的值，進而求出點的坐標．

解答：解：（1）解方程x²-14x+48=0得：x₁=8，x₂=6，
∴A（8，0），B（0，6）；

（2）∵OA=8，OB=6，
∴AB=10，
當點P在OB上運動時，OP₁=t，
S=

1

2

OA×OP1=

1

2

×8×t=4t；
當點P在BA上運動時，作P₂D⊥OA于點D，
有

P2D

BO

=

AP2

AB

，
∵AP₂=6+10-t=16-t，
∴P2D=

48-3t

5

，
∴S=

1

2

×OA×P2D=

1

2

×8×

48-3t

5

=-

12

5

t+

192

5

；

（3）當4t=12時，t=3，P₁（0，3），
此時，過△AOP各頂點作對邊的平行線，與坐標軸無第二個交點，所以點M不存在；
當-

12

5

t+

192

5

=12時，t=11，P₂（4，3），
此時，M₁（0，3）、M₂（0，-6）．

點評：本題是一個綜合應用題，用到了相似三角形的性質，方程的解法，是一個函數與三角形的綜合問題．