Question

如圖所示，在△ABC中，BC=6，E，F分別是AB，AC的中點，點P在射線EF上，BP交CE于D，點Q在CE上且BQ平分∠CBP，設BP=y，PE=x．當CQ=CE時，y與x之間的函數關系式是    ； 當CQ=CE（n為不小于2的常數）時，y與x之間的函數關系式是    ．

Answer 1

【答案】分析：采用一般到特殊的方法．解答中首先給出一般性結論的證明，即當EQ=kCQ（k＞0）時，y與x滿足的函數關系式為：y=6k-x；然后將該關系式應用到本題中求解．在解題過程中，充分利用了相似三角形比例線段之間的關系．另外，利用角平分線上的點到角兩邊的距離相等的性質得出了一個重要結論④，該結論在解題過程中發揮了重要作用．
解答：解：如右圖，過Q點作QM⊥BC于點M，作QN⊥BP于點N．
設CQ=a，DE=b，BD=c，則DP=y-c；
不妨設EQ=kCQ=ka（k＞0），則DQ=ka-b，CD=（k+1）a-b．
∵BQ平分∠CBP，
∴QM=QN．
∴==，
又∵=，
∴=，即= ①
∵EP∥BC，
∴=，即= ②
∵EP∥BC，
∴=，即= ③
將①②③式聯立，解得：y=6k-x ④
當CQ=CE時，k=1，
故y與x之間的函數關系式為：y=6-x；
當CQ=CE（n為不小于2的常數）時，k=n-1，由④式可知，
y與x之間的函數關系式為：y=6（n-1）-x．
故答案為y=-x+6；y=-x+6（n-1）．
點評：本題綜合考查了相似三角形線段之間的比例關系、角平分線的性質等重要知識點，難度較大．在解題過程中，涉及到數目較多的線段和較為復雜的運算，注意不要出錯．本題采用了從一般到特殊的解題思想，簡化了解答過程；同學們亦可嘗試從特殊到一般的解題思路，即當CQ=CE時，CQ=CE時分別探究y與x的函數關系式，然后推廣到當CQ=CE（n為不小于2的常數）時的一般情況．