Question

【題目】如圖1，在銳角△ABC中，AB=5，tanC=3，BD⊥AC于點D，BD=3，點P從點A出發，以每秒1個單位長度的速度沿AB向終點B運動，過點P作PE∥AC交邊BC于點E，以PE為邊作Rt△PEF，使∠EPF=90°，點F在點P的下方，且EF∥AB．設△PEF與△ABD重疊部分圖形的面積為S（平方單位）（S＞0），點P的運動時間為t（秒）

（t＞0）．

（1）求線段AC的長．

（2）當△PEF與△ABD重疊部分圖形為四邊形時，求S與t之間的函數關系式，并寫出t的取值范圍．

（3）若邊EF所在直線與邊AC交于點Q，連結PQ，如圖2，直接寫出△ABC的某一頂點到P、Q兩點距離相等時t的值．

Answer 1

【答案】（1）5（2）S=（5﹣t）2（3）綜上所述，t=s或s或s時，滿足題目要求

【解析】分析: （1）在Rt△ABD中，利用勾股定理求出AD，在Rt△BDC中，求出CD即可．

（2）分2種情形求解：如圖1中，當0＜t≤1時，重疊部分是四邊形PMDN．如圖2中，當≤t＜5時，重疊部分是四邊形PNMF．

（3）如圖5中，當PQ的垂直平分線經過當A時．根據PE=PA，可得t=5-t解決問題．如圖6中，當PQ的垂直平分線經過點B時，作EN⊥AC于N，EP交BD于M．在Rt△BQD中，根據BQ2=QD2+BD2，列出方程即可解決問題.

詳解:

（1）在Rt△ABD中，∠BDA=90°，AB=5，BD=3，

∴AD===4，

在Rt△BCD中，∠BDC=90°，BD=3，tanc=3，∴CD===1，

∴AC=AD+CD=4+1=5．

（2）如圖1中，當0＜t≤1時，重疊部分是四邊形PMDN．

易知PA=t，AM=t，PM=t，DM=4﹣t，

∴S=t（4﹣t）=﹣t2+t．

如圖2中，當≤t＜5時，重疊部分是四邊形PNMF．

∵AB=5，AC=AD+CD=4+1=5，

∴AC=AB，

易證PB=PE=5﹣t，PF=（5﹣t），PN=（5﹣t），

S=（5﹣t）（5﹣t）﹣（5﹣t）（5﹣t）=（5﹣t）2．

（3）如圖3中，當A到P、Q距離相等時．

易知四邊形APEQ時菱形，∴PE=PA，即t=5﹣t，∴t=．

如圖4中，當B到P、Q距離相等時，作EN⊥AC于N，EP交BD于M．

易知四邊形PENG是矩形，四邊形DMEN是矩形，∴PG=EN=t，EM=DN=PE﹣PM=（5﹣t），

QN=EN=t，∴QD=4﹣（5﹣t）=t﹣1，在Rt△BQD中，∵BQ2=QD2+BD2，

∴（5﹣t）2=32+（t﹣1）2，∴t=．

如圖5中，當C到P、Q距離相等時，作PM⊥AC與M，連接PC．

由PC=CQ，可得：（t）2+（5﹣t）2=t2，解得t=

綜上所述，t=s或s或s時，滿足題目要求．

點睛: 本題考查三角形綜合題、解直角三角形、勾股定理、銳角三角函數等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會用分類討論的思想思考問題，學會構建方程解決問題，屬于中考壓軸題.