Question

（2002•十堰）如圖，在平面直角坐標系中，ABCD為等腰梯形，AD∥BC，BC=2AD，梯形ABCD的面積S=18，中位線長為3，點B的坐標為（1，0）．
（1）求過A、B、C、D四點的拋物線的解析式；
（2）若P是拋物線上的任意一點，試比較△PBC的面積與梯形ABCD面積S的大小，并求出P點的坐標，不能求出時，請求出P點縱坐標的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知了等腰梯形的中位線長為3，因此BC+AD=6，由于BC=2AD，因此BC=4，AD=2．然后根據梯形的面積為18可求出A、D的縱坐標，再根據B點的坐標即可求出A、C、D的坐標，然后用待定系數法即可求出拋物線的解析式．
（2）可求出△PBC與四邊形ABCD的面積相等時，P點的縱坐標，然后根據此來判斷兩者的關系（不同的P點的取值范圍對應的大小關系不同）．
解答：解：（1）依題意有：BC=2AD，BC+AD=6；
∴BC=4，AD=2；
∵梯形ABCD的面積為18，即S=3×y_A=18，
∴y_A=6
∴A（2，6），B（1，0），C（5，0），D（4，6）
設拋物線的解析式為y=a（x-1）（x-5），
則有：a×1×（-3）=6，a=-2
∴y=-2（x-1）（x-5）=-2（x-3）²+8．

（2）當S_△PBC=S=18時，
S_△PBC=BC•|y_P|=18，
∴|y_P|=9
易知拋物線的頂點坐標為（3，8）；
因此當-9＜y_P≤8時，S_△PBC＜S
當y_P=-9時，S_△PBC=S
當y_P＜-9時，S_△PBC＞S．
點評：本題考查了等腰梯形的性質、二次函數解析式的確定、圖形面積的求法等知識點．綜合性較強．