Question

8．如圖所示，△ABC為等腰三角形，∠BAC=90°，AD=AE，AF⊥BE交BC于點F，過F作FG⊥CD交BE延長線于G，GF與AC于M，求證：BG=AF+FG．

Answer 1

分析 過C作AB的平行線交AF的延長線于P，證明△ABE≌△CAP，△MCF≌△PCF，得BE=AP．MF=PF，EG=MG，即可推出答案．

解答 證明：如圖，過點C作CP∥AB，交AF的延長線于點P，

在△ABE和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAE=∠CAD}\\{AE=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠ABE=∠ACD，
∵∠BAP+∠ABE=90°，∠ACD+∠FMC=90°
∴∠BAP=∠FMC，
又∵AB∥PC，
∴∠BAP=∠P
∴∠FMC=∠P．
∵AF⊥BE，∠BAC=90°，
∵∠BAE=∠ACP=90°，
∴∠ABE+∠AEB=90°，
∵AF⊥BE，
∴∠PAC+∠AEB=90°，
∴∠ABE=∠PAC
在△ABE和△CAP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠CAP}\\{AB=AC}\\{∠BAE=∠ACP}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CAP（ASA），
∴BE=AP．
∵CP∥AB，∠ACP=90°，∠ACB=45°，
∴∠MCF=∠PCF=45°，
在△MCF和△PCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FMC=∠P}\\{∠MCF=∠PCF}\\{CF=CF}\end{array}\right.$，
∴△MCF≌△PCF（AAS），
∴MF=PF，∠P=∠FMC，
又∵∠FMC=∠GME，
∴∠GEM=∠GME，
∴GE=GM，
則BG=BE+EG=AP+MG=AF+FP+MG=AF+FM+MG=AF+FG

點評 本題考查學生對等腰直角三角形和全等三角形的判定與性質的理解和掌握，解答此題的關鍵是過C作AB的平行線交AF的延長線于P，證明△ABE≌△ACP，△MCF≌△PCF．