Question

【題目】如圖1，在正方形ABCD中，E，F分別是AD，CD上兩點，BE交AF于點G，且DE＝CF．

（1）寫出BE與AF之間的關系，并證明你的結論；

（2）如圖2，若AB＝2，點E為AD的中點，連接GD，試證明GD是∠EGF的角平分線，并求出GD的長；

（3）如圖3，在（2）的條件下，作FQ∥DG交AB于點Q，請直接寫出FQ的長．

Answer 1

【答案】（1）BE＝AF，BE⊥AF;（2）GD是∠EGF的角平分線，證明見解析，GD＝；（3）FQ＝.

【解析】

（1）根據已知條件可先證明△BAE≌△ADF，得到BE=AF，再由角的關系得到∠AGE＝90°從而證明BE⊥AF；

（2）過點D作DN⊥AF于N，DM⊥BE交BE的延長線于M，根據勾股定理和三角形的面積相等求出DN，然后證明△AEG≌△DEM，得到DN＝DM，再根據角平分線的性質可證明GD平分∠EGF，進而在等腰直角三角形中求得GD；

（3）過點G作GH∥AQ交FQ于H，可得到四邊形DFHG是平行四邊形，進而可得△FGH∽△FAQ，然后根據三角形相似的性質可求得FQ.

解：（1）BE＝AF，BE⊥AF，理由：

四邊形ABCD是正方形，

∴BA＝AD＝CD，∠BAE＝∠D＝90°，

∵DE＝CF，

∴AE＝DF，

∴△BAE≌△ADF（SAS），

∴BE＝AF，∠ABE＝∠DAF，

∵∠ABE+∠AEB＝90°，

∴∠DAF+∠AEB＝90°，

∴∠AGE＝90°，

∴BE⊥AF

（2）如圖2，過點D作DN⊥AF于N，DM⊥BE交BE的延長線于M，

在Rt△ADF中，根據勾股定理得，AF＝，

∵S△ADF＝AD×FD＝AF×DN，

∴DN＝，

∵△BAE≌△ADF，

∴S△BAE＝S△ADF，

∵BE＝AF，

∴AG＝DN，

∵AE=DE,∠MED=∠AEG，∠DME=∠AGM，

∴△AEG≌△DEM（AAS），

∴AG＝DM，

∴DN＝DM，

∵DM⊥BE，DN⊥AF，

∴GD平分∠MGN，即GD平分∠EGF，

∴∠DGN＝∠MGN＝45°，

∴△DGN是等腰直角三角形，

∴GD＝DN＝；

（3）如圖3，由（2）知，GD＝，AF＝，AG＝DN＝，

∴FG＝AF﹣AG＝，

過點G作GH∥AQ交FQ于H，

∴GH∥DF，

∵FQ∥DG，

∴四邊形DFHG是平行四邊形，

∴FH＝DG＝，

∵GH∥AQ，

∴△FGH∽△FAQ，

∴，

∴ ，

∴FQ＝.