Question

（2005•煙臺）（1）如圖1，直線MN與⊙O相交，且與⊙O的直徑AB垂直，垂足為P，過點P的直線與⊙O交于C、D兩點，直線AC交MN于點E，直線AD交MN于點F．求證：PC•PD=PE•PF．
（2）如圖2，若直線MN與⊙O相離．（1）中的其余條件不變，那么（1）中的結論還成立嗎？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由．
（3）在圖3中，直線MN與⊙O相離，且與⊙O的直徑AB垂直，垂足為P．
①請按要求畫出圖形：畫⊙O的割線PCD（PC＜PD），直線BC與MN交于E，直線BD與MN交于F．
②能否仍能得到（1）中的結論？請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題要證的實際是△ECP與△DFP相似．已知對頂角∠CPE=∠DPF，要想證相似就要再找出一組相等的對應角；
連接BD．根據圓周角定理可得∠BAC=∠CDB，因此根據等角的余角相等，即可得出∠PDF=∠DEP；由此可證出△PDF∽△PEC，根據相似三角形對應線段成比例，即可得出PC•PD=PE•PF．
（2）還成立，證法與（1）大致相同，只不過證三角形相似時，已知的不是對頂角，而是一個公共角．
（3）依然成立，還是通過證△ECP與△DFP相似，來求解．這兩個三角形中已知了一個公共角，按（1）的思路，可連接AC，那么∠D=∠A，而∠A和∠PEB是一組對頂角的余角，因此∠A=∠PEB=∠D，由此可證得兩三角形相似，即可證得（1）的結論．
解答：（1）證明：連接BD
∵AB是⊙O直徑，
∴∠ADB=90°．
∴∠ADC+∠BDC=90°．
∵MN⊥AB，
∴∠AEP+∠BAC=90°．
∵∠BAC=∠BDC，
∴∠ADC=∠AEP．
∵∠DPF=∠EPC，
∴△PDF∽△PEC．
∴
即PC•PD=PE•PF．

（2）解：結論仍然成立．
證明：連接BD．
∵AB是⊙O直徑，
∴∠ADB=90°．
∴∠ABD+∠BAD=90°．
∵∠ACD=∠PCE，∠ABD=∠ACD，
∴∠PCE+∠BAD=90°．
∵MN⊥AB，
∴∠PFA+∠BAD=90°．
∴∠PCE=∠PFA．
∵∠EPC=∠FPD，
∴△PCE∽△PFD．
∴，
∴PC•PD=PE•PF．

（3）解：結論仍然成立．
證明：連接AC．
∵AB是⊙O直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠A+∠ABC=90°．
∵∠ABC=∠EBP，
∴∠A+∠EBP=90°．
∵MN⊥AB，
∴∠PEB+∠EBP=90°．
∴∠A=∠PEB．
∵∠A=∠D，
∴∠D=∠PEB．
∵∠DPF=∠EPC，
∴△DPF∽△EPC．
∴．
∴PC•PD=PE•PF．
點評：本題主要考查了圓周角定理，相似三角形的判定和性質等知識點；根據圓周角定理得出的角相等，來證得三角形相似是解題的關鍵．