Question

如圖，已知直線l的解析式為y =  x–1，拋物線y = ax²＋bx＋2經過點A（m，0），B（2，0），D 三點．

（1）求拋物線的解析式及A點的坐標，并在圖示坐標系中畫出拋物線的大致圖象；

（2）已知點 P（x，y）為拋物線在第二象限部分上的一個動點，過點P作PE垂直x軸于點E, 延長PE與直線l交于點F，請你將四邊形PAFB的面積S表示為點P的橫坐標x的函數， 并求出S的最大值及S最大時點P的坐標；

（3）將（2）中S最大時的點P與點B相連，求證：直線l上的任意一點關于x軸的對稱點一定在PB所在直線上．

Answer 1

解：（1）∵ y = ax²＋bx＋2經過點B、D

    ∴

解之得：a =–，b =–

∴ y =–x² – x＋2

∵ A（m，0）在拋物線上

∴ 0 =– m² – m＋2

解得：m =–4

∴ A（–4，0）

圖像（略）

（2）由題設知直線l的解析式為y =  x–1

∴ S =  AB·PF

    =  ×6·PF

    = 3（– x² – x＋2＋1– x）

    = – x² –3x＋9

    = –（x＋2）² ＋12

其中–4 < x < 0

∴ S_最大= 12，此時點P的坐標為（–2，2）

（3）∵ 直線PB過點P（–2，2）和點B（2，0）

∴ PB所在直線的解析式為y =– x＋1

設Q（a， a–1）是y =  x–1上的任一點

則Q點關于x軸的對稱點為（a，1– a）

將（a，1– a）代入y =– x＋1顯然成立

∴ 直線l上任意一點關于x軸的對稱點一定在PB所在的直線上