Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-2x+2與x軸、y軸分別相交于點A，B，四邊形ABCD是正方形，反比例函數y=

k

x

在第一象限的圖象經過點D．
（1）求D點的坐標，以及反比例函數的解析式；
（2）若K是雙曲線上第一象限內的任意點，連接AK、BK，設四邊形AOBK的面積為S；試推斷當S達到最大值或最小值時，相應的K點橫坐標；并直接寫出S的取值范圍．
（3）試探究：將正方形ABCD沿左右（或上下）一次平移若干個單位后，點C的對應點恰好落在雙曲線上的方法．

Answer 1

（1）過D作DM⊥OA于M點，

由題意得，AB=AD，∠AOB=∠AMD，
又∵∠DAM+∠BAO=∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠ABO=∠DAM，
可證得：RT△BAO≌RT△ADM，（1分）
∵A（1，0），B（0，2），
∴DM=OA=1，AM=OB=2，
則：OM=3，D（3，1），（1分）
反比例函數解析式為：y=

3

x

（1分）
（2）過K分別作KH⊥BA于H，直線l∥AB，
∵S_{四邊形AOBK}=S_△BOA+S_△BKA且S_△BOA=1，又S_△BKA=0.5×

5

×KH，
設直線l為：y=-2x+b且b＞2，
∴S_{四邊形AOBK}的大小與線段HK的大小有關，（1分）
要使HK最小，則直線l與雙曲線y=

3

x

在第一象限只有唯一交點K，
故：方程-2x+b=

3

x

有唯一實根，
∴2x²-bx+3=0中△=b²-24=0，
又∵b＞2，則：b=2

6

，
∴S_△BKA最小時K的坐標為（

6

2

，

6

），
（橫坐標計算正確即可得3分）
且直線KH為：y=

1

2

x+

3 6

4

，故又得：當HK最小時，H的橫坐標為：

4

5

-

3 6

10

，
∴HK最小值為|

6

2

-（

4

5

-

3 6

10

）|×

5

2

=

2 5

5

（

6

-1），
即S_△BKA的最小值為

6

-1；
而可知：HK無最大值；
∴S無最大值，且當K的橫坐標為

6

2

時，S達到最小值，
所以，S的取值范圍為：S≥

6

．（不考慮過程，S范圍直接給定正確得2分）
（3）過C作CN⊥BO于N，
可得：CN=BO=2，BN=OA=1，
∴C（2，3），（1分）
又∵函數y=

3

x

中，當x=2時，y=1.5；當y=3時，x=1；（1分）
∴把正方形ABCD向左平移1個單位或向下平移1.5個單位，
能使點C恰好移動到雙曲線y=

3

x

上．（1分）