Question

如圖，Rt△ABC（∠ABC=90°）的頂點A是雙曲線y=

k

x

與直線y=x+k的在第一象限的交點，C為y=x+k與x軸的交點．若S_△ABO=1，
（1）求出這兩個函數的表達式和△ABC的面積；
（2）點M、N分別在x軸和y軸上，以A、C、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形，求M、N的坐標．

Answer 1

（1）∵∠ABO=90°，S_△ABO=1，
∴k=2S_△ABO=2，
故一次函數解析式為y=x+2；反比例函數解析式為y=

2

x

；
當y=0時，對于x+2=0，x=-2；
C點坐標為（-2，0），
將y=x+2和y=

2

x

組成方程組得；

y=x+2 y= 2 x

，
解得x=-1±

3

，y=1±

3

，
由于交點在第一象限，
故A點坐標為（-1+

3

，1+

3

）．
∴S_△ABC=

1

2

×BC×AB=

1

2

×（-1+

3

+2）×（1+

3

）=2+

3

；

（2）如圖1，作AN⊥y軸，則AN∥MC，
在OC上截取MC=AN，
故四邊形ANMC為平行四邊形．
∵AN=-1+

3

，
∴MC=-1+

3

，
有∵CO=2，
∴MO=2-1+

3

=1+

3

，
∵ON=AB=1+

3

，
∴N點坐標為（0，1+

3

），M點坐標為（1+

3

，0）．
如圖2，當MN∥AC，MN=AC時，
四邊形ACNM為平行四邊形，
易得，△ABM≌△NOC，
∴AB=NO，
∴N點坐標為（0，1+

3

），
∵△ABC≌△NOM，
∴OM=BC=（-1+

3

+2）=1+

3

，
∴M點坐標為（1+

3

，0）．