Question

14．如圖，AD、BE、CF是銳角△ABC的三條高，H為垂心，取AH的中點O，射線EO交AB于點P，DF交BE于點Q，求證：PQ⊥BC．

Answer 1

分析 根據高線的性質，可得∠AFC=∠ADC=90°，根據垂心性質，可得四點共圓，根據余角的性質，可得∠PEH+∠HFQ=90°，再根據四點共圓的判定與性質，可得∠PQE=∠PFE，∠PQE=∠AHE，根據平行線的判定，可得PQ∥AH．

解答 證明：如圖，
∵AD、BE、CF是銳角△ABC的三條高，
∴∠BFD+∠CFD=90°，∠AEO+∠PEH=90°．
∵∠AFC=∠ADC=90°，
∴A、F、D、C四點共圓，
∴∠DFC=∠DAC．
∵OE是Rt△斜邊上的中線，
∴AO=OE，
∴∠OAE=∠OEA．
∴∠PEH+∠HFQ=90°，
∴∠PEQ+∠PFQ=180°．
∴FQEP四點共圓．
∴∠PQE=∠PFE．
∵A、F、H、E四點共圓，
∴∠AFE=∠AHE，
∴∠PQE=∠AHE，
∴PQ∥AH
∴PQ⊥BC．

點評 本題考查了三角形的五心，利用垂心的性質得出四點共圓是解題關鍵，又利用同弦所對的圓周角相等．