Question

如圖，已知正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為8，⊙O的半徑為2，圓心在正方形的中心上，將紙片按圖示方式折疊，使EA恰好與⊙O相切于點(diǎn)A′（△EFA′與⊙O除切點(diǎn)外無重疊部分），延長(zhǎng)FA′交CD邊于點(diǎn)G，求A′G的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：作FS⊥CD于點(diǎn)S點(diǎn)，由于點(diǎn)O是正方形的中心，正方形是中心對(duì)稱圖形，則AF=CG，先證明△AFE≌△FA′E，有FA=FA′；再根據(jù)四邊形ADSF是矩形，設(shè)AF=A′F=DS=CG=x，利用勾股定理得[2（2+x）]²=（8-2x）²+8²，解方程得x=，所以A′G=FG-FA′=．
解答：解：如圖，作FS⊥CD于點(diǎn)S，則AF=CG，
∵△AFE≌△A′FE，
∴FA=FA′，
∵四邊形ADSF是矩形，
∴AF=SD，AD=FS；
設(shè)AF=x，則A′F=DS=CG=x，GS=8-2x，F(xiàn)O=FA′+OA′=2+x，F(xiàn)G=2（2+x）；
∵FG²=GS²+FS²
∴[2（2+x）]²=（8-2x）²+8²，
解得x=，
∴A′G=FG-FA′=2（2+x）-x=．
點(diǎn)評(píng)：本題利用了正方形是中心對(duì)稱圖形，正方形的性質(zhì)，勾股定理，折疊的性質(zhì)求解．