Question

如圖，已知正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為8，O是正方形的中心，⊙O的半徑為2．沿EF折疊紙片，使點(diǎn)A落在⊙O上的A₁處，且EA₁所在直線與⊙O只有一個(gè)公共點(diǎn)A₁，延長(zhǎng)FA₁交CD邊于點(diǎn)G，則A₁G的長(zhǎng)是（　　）

• A、

  19

  3

• B、6
• C、

  17

  3

• D、

  20

  3

Answer 1

分析：根據(jù)翻折變換得到EA₁是⊙0的切線，然后利用切線的性質(zhì)，有FG⊥EA₁，因?yàn)辄c(diǎn)O是正方形的中心，所以AF=CG，再過(guò)點(diǎn)G作AB的垂線交AB于H，在△FGH中用勾股定理計(jì)算求出線段AF的長(zhǎng)，然后得到A₁G的長(zhǎng)．

解答：解：如圖：過(guò)點(diǎn)G作GH⊥AB于點(diǎn)H，
∵∠A=90°，∴∠EA₁F=90°，
∵EA₁所在的直線與⊙0只有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴EA₁是⊙0的切線，
∵點(diǎn)O是正方形ABCD的中心，
∴AF=CG
設(shè)AF=a，則FA₁=a，CG=a，
在直角△FGH中，
FH=8-2a，HG=8，F(xiàn)G=4+2a，
∴（4+2a）²=（8-2a）²+8²，
解得：a=

7

3

∴A₁G=4+a=

19

3

．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是切線的性質(zhì)，利用翻折原理得到直線EA₁是圓的切線，然后利用切線的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，通過(guò)作輔助線得到直角三角形，在直角三角形中利用勾股定理求出線段的長(zhǎng)．