Question

如圖，已知正方形紙片ABCD的邊長為2，將正方形紙片折疊，使頂點A落在邊CD上的點P處（點P與C、D不重合），折痕為EF，折疊后AB邊落在PQ的位置，PQ與BC交于點G．
（1）觀察操作結果，找到一個與△EDP相似的三角形，并證明你的結論；
（2）當點P位于CD中點時，你找到的三角形與△EDP周長的比是多少？

Answer 1

分析：（1）根據題意，∠EPG=90°，可得∠EPD+∠CPG=90°，又∠EPD+∠PED=90°，所以∠CPG=∠PED．加上∠C=∠D，可得△EDP∽△PCG；
（2）根據相似三角形性質求解．因為CP=1，所以需求對應邊DE的長度．設DE=x，則AE=EP=2-x，根據勾股定理可求．

解答：解：（1）與△EDP相似的三角形是△PCG．     （1分）
證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=∠C=∠D=90°．
由折疊知∠EPQ=∠A=90°．
∴∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°．
∴∠2=∠3．
∴△PCG∽△EDP．                            （2分）

（2）設ED=x，則AE=2-x，
由折疊可知：EP=AE=2-x．
∵點P是CD中點，
∴DP=1．
∵∠D=90°，
∴ED²+DP²=EP²，
即x²+1²=（2-x）²
解得x=

3

4

．
∴ED=

3

4

．                                 （3分）
∵△PCG∽△EDP，
∴

PC

ED

=

1

3 4

=

4

3

．
∴△PCG與△EDP周長的比為4：3．               （4分）

點評：此題考查了相似三角形的判定和性質，涉及折疊問題、勾股定理等知識點，綜合性較強，難度偏上．