Question

在點O為原點的平面直角坐標系中，邊長為1的正方形OABC的兩頂點A、C分別在y軸、x軸正半軸上，現將正方形OABC繞O點順時針旋轉，當A點第一次落在直線y=x上時，停止轉動，旋轉過程中，AB邊交直線y=x于點M，交x軸于N．
（1）旋轉停止時正方形旋轉的度數是

45

度；
（2）在旋轉過程中，當MN和AC平行時，
①△OAM與△OCA是否全等？此時正方形OABC旋轉的度數是多少？
②直接寫出△MBN的周長的值，并判斷這個值在正方形OABC的旋轉的過程中是否發生變化？

Answer 1

分析：（1）根據直線y=x圖象上點的特點，得出線y=x與y軸的夾角是45°，即可得出求得邊OA旋轉的角度；
（2）①利用SAS得出全等，根據正方形一個內角的度數求出∠AOM的度數，即可得出答案；
②利用全等把△MBN的各邊整理到成與正方形的邊長有關的式子即可．

解答：解：（1）∵A點第一次落在直線y=x上時停止旋轉，直線y=x與y軸的夾角是45°，
∴OA旋轉了45°；
故答案為：45．

（2）①△OAM≌△OCN，正方形OABC旋轉的度數為22.5°．
理由：∵MN∥AC，
∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°．
∴∠BMN=∠BNM．∴BM=BN．
又∵BA=BC，∴AM=CN．
在△OAM和△OCN中

AM=CN ∠OAM=∠OCN AO=CO

∴△OAM≌△OCN（SAS）
∴∠AOM=∠CON=

1

2

（∠AOC-∠MON）=

1

2

（90°-45°）=22.5°．
∴旋轉過程中，當MN和AC平行時，正方形OABC旋轉的度數為45°-22.5°=22.5°．

②△MBN的周長的值為2，
證明：如圖所示：延長BA交y軸于E點，
則∠AOE=45°-∠AOM，∠CON=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM，
∴∠AOE=∠CON．
又∵OA=OC，∠OAE=180°-90°=90°=∠OCN，
在△OAE和△OCN中

∠EOA=∠CON OA=OC ∠OAE=∠OCN

，
∴△OAE≌△OCN（ASA）．
∴OE=ON，AE=CN．
在△OME和△OMN中

OE=OC ∠EOM=∠COM OM=OM

∴△OME≌△OMN（SAS）．
∴MN=ME=AM+AE．
∴MN=AM+CN，
∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=2．
∴在旋轉正方形OABC的過程中，△MBN的周長無變化．

點評：此題主要考查了旋轉的性質以及全等三角形的判定與性質等知識，注意求一些線段的長度或角的度數，總要整理到已知線段的長度上或已知角的度數上進而得出是解題關鍵．