Question

在△ABC中，D為BC邊的中點，E為AC邊上的任意一點，BE交AD于點O．
某學生在研究這一問題時，發現了如下的事實：
（1）當

AE

AC

=

1

2

=

1

1+1

時，有

AO

AD

=

2

3

=

2

2+1

（如圖）
（2）當

AE

AC

=

1

3

=

1

1+2

時，有

AO

AD

=

2

4

=

2

2+2

（如圖）
（3）當

AE

AC

=

1

4

=

1

1+3

時，有

AO

AD

=

2

5

=

2

2+3

（如圖）
在圖中，當

AE

AC

=

1

1+n

時，參照上述研究結論，請你猜想用n表示

AO

AD

的一般結論，并給出證明（其中n是正整數）

Answer 1

分析：過D作DF∥BE，即求AE：AD，因為

AE

AC

=

1

1+n

，可以根據平行線分線段成比例，及線段相互間的關系即可得出．

解答：解：過D作DF∥BE，
∴AO：AD=AE：AF．
∵D為BC邊的中點，
∴CF=EF=0.5EC．
∵

AE

AC

=

1

1+n

，
∴AE：（AE+2EF）=1：（1+n），
AE+2EF=AE+AEn
AEn=2EF，
∴AE：EF=2：n．
∴AE：AF=2：（n+2）．
∴

AO

AD

=2：（n+2）．

點評：本題考查平行線分線段定理及其應用，注意D為BC邊的中點的運用．