Question

如圖，長方形紙片ABCD中，AB=8，將紙片折疊，使頂點B落在邊AD上的E點處，折痕的一端G點在邊BC上．
（1）如圖1，當(dāng)折痕的另一端F在AB邊上且AE=4時，求AF的長
（2）如圖2，當(dāng)折痕的另一端F在AD邊上且BG=10時，
①求證：EF=EG．②求AF的長．
（3）如圖3，當(dāng)折痕的另一端F在AD邊上，B點的對應(yīng)點E在長方形內(nèi)部，E到AD的距離為2cm，且BG=10時，求AF的長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)翻折的性質(zhì)可得BF=EF，然后用AF表示出EF，在Rt△AEF中，利用勾股定理列出方程求解即可；
（2）①根據(jù)翻折的性質(zhì)可得∠BGF=∠EGF，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠BGF=∠EFG，從而得到∠EGF=∠EFG，再根據(jù)等角對等邊證明即可；
②根據(jù)翻折的性質(zhì)可得EG=BG，HE=AB，F(xiàn)H=AF，然后在Rt△EFH中，利用勾股定理列式計算即可得解；
（3）設(shè)EH與AD相交于點K，過點E作MN∥CD分別交AD、BC于M、N，然后求出EM、EN，在Rt△ENG中，利用勾股定理列式求出GN，再根據(jù)△GEN和△EKM相似，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出EK、KM，再求出KH，然后根據(jù)△FKH和△EKM相似，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求解即可．

解答：（1）解：∵紙片折疊后頂點B落在邊AD上的E點處，
∴BF=EF，
∵AB=8，
∴EF=8-AF，
在Rt△AEF中，AE²+AF²=EF²，
即4²+AF²=（8-AF）²，
解得AF=3；

（2）①證明：∵紙片折疊后頂點B落在邊AD上的E點處，
∴∠BGF=∠EGF，
∵長方形紙片ABCD的邊AD∥BC，
∴∠BGF=∠EFG，
∴∠EGF=∠EFG，
∴EF=EG；

②解：∵紙片折疊后頂點B落在邊AD上的E點處，
∴EG=BG=10，HE=AB=8，F(xiàn)H=AF，
∴EF=EG=10，
在Rt△EFH中，F(xiàn)H=

EF2-HE2

=

102-82

=6，
∴AF=FH=6；

（3）解：如圖3，設(shè)EH與AD相交于點K，過點E作MN∥CD分別交AD、BC于M、N，
∵E到AD的距離為2cm，
∴EM=2，EN=8-2=6，
在Rt△ENG中，GN=

EG2-EN2

=

102-62

=8，
∵∠GEN+∠KEM=180°-∠GEH=180°-90°=90°，
∠GEN+∠NGE=180°-90°=90°，
∴∠KEM=∠NGE，
又∵∠ENG=∠KME=90°，
∴△GEN∽△EKM，
∴

EK

EG

=

KM

EN

=

EM

GN

，
即

EK

10

=

KM

6

=

2

8

，
解得EK=

5

2

，KM=

3

2

，
∴KH=EH-EK=8-

5

2

=

11

2

，
∵∠FKH=∠EKM，∠H=∠EMK=90°，
∴△FKH∽△EKM，
∴

FH

EM

=

KH

KM

，
即

FH

2

=

11 2

3 2

，
解得FH=

22

3

，
∴AF=FH=

22

3

．

點評：本題考查了翻折變換的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟記翻折前后兩個圖形能夠重合得到相等的線段和角是解題的關(guān)鍵，本題難點在于（3）作輔助線構(gòu)造出相似三角形．