Question

如圖一次函數的圖象與x軸、y軸交于點A、B，以線段AB為邊在第一象限內作等邊三角形△ABC．
（1）求△ABC的面積；
（2）在x軸上，是否存在點M，使△MAB為等腰三角形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵函數解析式為：，
∴點B坐標為（0，1），點A坐標為（，0），
∴OA=，OB=1，
在Rt△OAB中，AB==2，
則等邊三角形ABC的面積為AB²=．

（2）存在點M，使△MAB為等腰三角形
①若以AB為腰，如圖所示：

當點M位于M₁位置時，OM₁=OA+AM₁=OA+AB=2+，
此時點M₁坐標為（2+，0）；
當點M位于M₂位置時，OM₂=OA=，
此時點M₂坐標為（-，0）；
當點M位于M₃位置時，OM₃=AB=2，
此時點M₃坐標為（-2，0）；
②若以AB為底邊，如圖所示：

作AB的中垂線交x軸于點M₄，則此時△M₄AB為等腰三角形，
∵OB=1，OA=，
∴∠OAB=30°，
∵AB=2，M₄N是AB的中垂線，
∴AN=1，
在Rt△ANM₄中，AM₄==，
則OM₄=OA-AM₄=，
則此時M₄的坐標為（，0）．
綜上可得存在點M，使△MAB為等腰三角形，點M的坐標為：M₁（2+，0）或M₂（-，0）或M₃（-2，0）或M₄（，0）．
分析：（1）由一次函數解析式可求出OA、OB的長度，在Rt△OAB中可求出AB的長度，再由等邊三角形的性質可求出△ABC的面積；
（2）①以AB為腰的等腰三角形有三個，②以AB為底邊的等腰三角形有1一個，分別求出點M的坐標即可．
點評：本題考查了一次函數綜合題，涉及了點的坐標與線段長度之間的轉換，含30°角的直角三角形的性質及等邊三角形的性質，解答本題需要我們數形結合，將所學的知識點串在一起，融會貫通，靈活求解．