Question

我市某工藝廠為配合北京奧運，設計了一款成本為20元∕件的工藝品投放市場進行試銷．經過調查，得到如下數據：

銷售單價x（元∕件）	…	30	40	50	60	…
每天銷售量y（件）	…	500	400	300	200	…

（1）猜想y與x的函數關系，并求出函數關系式；
（2）當銷售單價定為多少時，試銷該工藝品每天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？
（3）銷售部門規定該工藝品單價不得超過48元，要想每天獲得8750元利潤，單價應定為多少元？

Answer 1

解：（1）將各點在坐標系中描出，由圖可猜想y與x是一次函數關系，
設這個一次函數為y=kx+b（k≠0），
∵這個一次函數的圖象經過（30，500）、（40，400）這兩點，
∴，
解得：，
故函數關系式是：y=-10x+800．

（2）設該廠試銷該小鏡子每天獲得的利潤是W元，
依題意得W=（x-20）（-10x+800）=-10x²+1000x-16000=-10（x-50）²+9000
當x=50時，W有最大值9000元．
所以，當銷售單價定為50元∕個時，該廠試銷小鏡子每天獲得的利潤最大，最大利潤是9000元．

（3）要想每天獲得8750元利潤，則8750=-10（x-50）²+9000，
整理得出：（x-50）²=25，
解得：x₁=55，x₂=45，
∵銷售部門規定該工藝品單價不得超過48元，
∴55不合題意舍去，
答：要想每天獲得8750元利潤，單價應定為45元．
分析：（1）首先描點，由圖可猜想y與x是一次函數關系，任選兩點求表達式，再驗證猜想的正確性；
（2）根據總利潤=銷售總價-成本總價=單件利潤×銷售量．據此得表達式，運用性質求最值；
（3）根據要想每天獲得8750元利潤，得出一元二次方程進而求出即可．
點評：此題考查了二次函數的性質及其應用，要運用圖表中的信息，學會用待定系數法求解函數解析式并將實際問題轉化為求函數最值問題，從而來解決實際問題．