Question

如圖，已知等腰梯形ABCD的邊BC在x軸上，點A（0，3）在y軸的正半軸上，點D的坐標為（2，3），且AB=．
（1）求點B的坐標；
（2）求經過A、B、D三點的拋物線的解析式；
（3）在（2）中所求得的拋物線上是否存在點P，使得S_△PBC=S_梯形ABCD？若存在，請求出所有滿足條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）在Rt△ABO中，
∵∠AOB=90°，AB=，OA=3，
∴BO==1，
∵點B在x軸的負半軸上，
∴B（-1，0），
故點B的坐標是（-1，0）；

（2）設經過A、B、D三點的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
代入得：，
解這個方程組得：，
則y=-x²+2x+3．
故經過A、B、D三點的拋物線的解析式是y=-x²+2x+3；

（3）在（2）中所求得的拋物線上存在點P，能夠使得S_△PBC=S_梯形ABCD．理由如下：
∵A（0，3），D（2，3），
∴AD=2．
過點D作DE⊥x軸于點E，則四邊形DEOA是矩形，有DE=OA=3，AD=OE=2．
∵四邊形ABCD是等腰梯形，
∴CD=AB=，CE=BO=1，
∴OC=2+1=3，
∴C（3，0），
∵B（-1，0），
∴BC=4，
∴梯形ABCD的面積是×（2+4）×3=9，
∵S_△PBC=S_梯形ABCD，
∴S_△PBC=6．
設點P的坐標為（x，y），則△PBC的BC邊上的高為|y|，
×4×|y|=6，
∴y=±3，
∴P點的坐標是P₁（x，3），P₂（x，-3），
代入拋物線得：-x²+2x+3=3，
解得x₁=0，x₂=2，
∴點P₁的坐標為（0，3），（2，3）；
同理可求得：點P₂的坐標為（1+，-3），（1-，-3）．
故在（2）中所求得的拋物線上存在點P（0，3），（2，3），（1+，-3），（1-，-3），使得S_△PBC=S_梯形ABCD．
分析：（1）在直角△AOB中，已知OA，AB，根據勾股定理求出BO，即可得到點B的坐標；
（2）把A、B、D的坐標代入拋物線的解析式，運用待定系數法即可求解；
（3）過點D作DE⊥x軸于點E，得到矩形DEOA，根據矩形的性質得出DE=3，再求出BC，根據梯形面積公式求出梯形ABCD的面積，則△PBC的面積=S_梯形ABCD，設點P的坐標為（x，y），則△PBC的BC邊上的高為|y|，求出P點的縱坐標，代入拋物線的解析式求出P點的橫坐標即可．
點評：本題主要考查對二次函數解析式的確定，三角形的面積，等腰梯形的性質，解一元二次方程等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質進行計算是解此題的關鍵．