Question

如圖所示，已知△ABC的重心G與內心I的連線GI∥BC．求證：AB、BC、CA成等差數列．

Answer 1

證明：
方法一：連接AG、AI且延長分別交BC于D、E，連接IC，則AD為中線，AE、CI為角平分線．
∵GI∥BC，
∴．
在△CAE中，有，即AC=2CE，
同理AB=2BE．
∴AB+AC=2（BE+CE）=2BC．

方法二：（利用面積公式），連接AG并延長交BC于點D，連接AI并延長交BC與點F作IE⊥BC于E，AH⊥BC于H，則IE為內切圓I的半徑，
設IE=r．
∵IG∥BC，
∴，即AH=3r．
∵，
即2BC=AB+CA．
分析：方法一：首先連接AG、AI且延長分別交BC于D、E，連接IC，則AD為中線，AE、CI為角平分線．根據三角形重心的性質及GI∥BC可得到．在△CAE中，利用相似三角形的性質定理易得到，即AC=2CE．同理AB=2BE．
∴AB+AC=2（BE+CE）=2BC．至此，問題得證．
分析二：（利用面積公式），首先連接AG并延長交BC于點D，連接AI并延長交BC與點F作IE⊥BC于E，AH⊥BC于H，則IE為內切圓I的半徑．根據三角形重心的性質及相似三角形的性質易得到，即AH=3r．再利用三角形的面積計算公式，即2BC=AB+CA．問題得證．
點評：本題考查三角形的五心．本題綜合性較強，考查知識點較深，是競賽類題目的首選，解決本題的關鍵是掌握三角形五心的性質．