Question

【題目】將一副三角尺如圖①擺放（在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°；在Rt△DEF中，∠EDF=90°，∠E=45°）點D為AB的中點，DE交AC于點P，DF經過點C．

（1）求∠ADE的度數；

（2）如圖②，將△DEF繞點D順時針方向旋轉角α（0°<α<60°），此時的等腰直角三角尺記為△DE′F′，DE′交AC于點M，DF′交BC于點N，試判斷的值是否隨著α的變化而變化？如果不變，請求出的值；反之，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）30°；（2）的值不會隨著α的變化而變化。．

【解析】試題分析：（1）根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得CD=AD=BD=AB，根據等邊對等角求出∠ACD=∠A，再求出∠ADC=120°，再根據∠ADE=∠ADC-∠EDF計算即可得解；

（2）根據同角的余角相等求出∠PDM=∠CDN，再根據然后求出△BCD是等邊三角形，根據等邊三角形的性質求出∠BCD=60°，再根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求出∠CPD=60°，從而得到∠CPD=∠BCD，再根據兩組角對應相等，兩三角形相似判斷出△DPM和△DCN相似，再根據相似三角形對應邊成比例可得為定值．

試題解析：（1）由題意知： CD是Rt△ABC中斜邊AB上的中線，

∴AD=BD=CD，

∵在△BCD中，BD=CD且∠B=60°，

∴△BCD是等邊三角形，

∴∠BCD=∠BDC=60°，

∴∠ADE=180°－∠BDC－∠EDF=180°－60°－90°=30°

（2）的值不會隨著α的變化而變化。

理由如下：∵△APD的外角∠MPD=∠A＋∠ADE=30°＋30°=60°，

∴∠MPD=∠BCD=60°．

∵在△MPD和△NCD中，∠MPD=∠NCD=60°，∠PDM=∠CDN=α，

∴△MPD∽△NCD，，

又∵由（1）知AD=CD，

∴∠ACD=∠A=30°，即∠PCD=30°．

在Rt△PCD中，∠PCD=30°，

∴，

∴