Question

已知正方形OABC中，O為坐標原點，點A在y軸的正半軸上，點C在x軸的正半軸上，點B（4，4）．二次函數y=-x2+bx+c的圖象經過點A、B．點P（t，0）是x軸上一動點，連接AP．

（1）求此二次函數的解析式；

（2）如圖①，過點P作AP的垂線與線段BC交于點G，當點P在線段OC（點P不與點C、O重合）上運動至何處時，線段GC的長有最大值，求出這個最大值；

（3）如圖②，過點O作AP的垂線與直線BC交于點D，二次函數y=-x2+bx+c的圖象上是否存在點Q，使得以P、C、Q、D為頂點的四邊形是以PC為邊的平行四邊形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1） 二次函數解析式為y=-x2+x+4；（2） P（2，0）時，GC的最大值是1；（3） 存在點Q（-6，-6）或（6，2），使得以P、C、Q、D為頂點的四邊形是以PC為邊的平行四邊形．

【解析】

試題分析：（1）根據正方形的性質求出點A的坐標，然后把點A、B的坐標代入函數解析式求出b、c，即可得解；

（2）表示出PO、PC，再根據同角的余角相等求出∠OAP=∠CPG，然后求出△AOP和△PCG相似，再根據相似三角形對應邊成比例列式表示出GC，然后根據二次函數的最值問題解答；

（3）求出∠OAP=∠COD，再利用“角邊角”證明△AOP和△OCD全等，根據全等三角形對應邊相等可得OP=CD，再求出PC，從而得到點D的坐標，然后分①點Q在直線BC的右邊時，根據平行四邊形的對邊平行且相等表示出點Q的坐標，再代入二次函數解析式計算即可求出t值，②點Q在直線BC的左邊時，根據平行四邊形的對邊平行且相等表示出點Q的坐標，再代入二次函數解析式計算即可求出t值．

試題解析：（1）∵B（4，4），

∴AB=BC=4，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴OA=4，

∴A（0，4），

將點A（0，4），B（4，4）代入y=-x2+bx+c得

，

解得．

∴二次函數解析式為y=-x2+x+4；

（2）∵P（t，0），

∴OP=t，PC=4-t，

∵AP⊥PG，

∴∠APO+∠CPG=180°-90°=90°，

∵∠OAP+∠APO=90°，

∴∠OAP=∠CPG，

又∵∠AOP=∠PCG=90°，

∴△AOP∽△PCG，

∴，

即，

整理得，GC=-（t-2）2+1，

∴當t=2時，GC有最大值是1，

即P（2，0）時，GC的最大值是1；

（3）存在點Q，使得以P、C、Q、DP、C、Q、DP、C、Q、D為頂點的四邊形是以PC為邊的平行四邊形．

理由如下：如圖1、2，易得∠OAP=∠COD，

在△AOP和△OCD中，

，

∴△AOP≌△OCD（ASA），

∴OP=CD，

由P、C、Q、DP、C、Q、DP、C、Q、D為頂點的四邊形是以PC為邊的平行四邊形得，PC∥DQ且PC=DQ，

∵P（t，0），D（4，t），

∴PC=DQ=|t-4|，

∴點Q的坐標為（t，t）或（8-t，t），

①當Q（t，t）時，-t2+t+4=t，

整理得，t2+t-24=0，

解得t1=4（舍去），t2=-6，

②當Q（8-t，t）時，-（8-t）2+（8-t）+4=t，

整理得，t2-6t+8=0，

解得t1=2，t2=4（舍去），

綜上所述，存在點Q（-6，-6）或（6，2），使得以P、C、Q、D為頂點的四邊形是以PC為邊的平行四邊形．

考點：二次函數綜合題．