Question

一只青蛙在平面直角坐標系上從點（1，1）開始，可以按照如下兩種方式跳躍：
①能從任意一點（a，b），跳到點（2a，b）或（a，2b）；
②對于點（a，b），如果a＞b，則能從（a，b）跳到（a-b，b）；如果a＜b，則能從（a，b）跳到（a，b-a）．
例如，按照上述跳躍方式，這只青蛙能夠到達點（3，1），跳躍的一種路徑為：
（1，1）→（2，1）→（4，1）→（3，1）．
請你思考：這只青蛙按照規定的兩種方式跳躍，能到達下列各點嗎？如果能，請分別給出從點（1，1）出發到指定點的路徑；如果不能，請說明理由．
（1）（3，5）；（2）（12，60）；（3）（200，5）；（4）（200，6）．

Answer 1

分析：根據題目要求及兩個規則，可以得到，a和b的公共奇約數=a和2b的公共奇約數=2a和b的公共奇約數．
所以由規則①知，跳躍不改變前后兩數的公共奇約數．
又由規則②知，跳躍不改變前后兩數的最大公約數．
所以而按規則①和規則②跳躍，均不改變坐標前后兩數的公共奇約數．
由此可排除不能到達的點．

解答：解：（1）能到達點（3，5）和點（200，6）．
從（1，1）出發到（3，5）的路徑為：
（1，1）→（2，1）→（4，1）→（3，1）→（3，2）
→（3，4）→（3，8）→（3，5）．
從（1，1）出發到（200，6）的路徑為：
（1，1）→（1，2）→（1，4）→（1，3）→（1，6）→（2，6）→（4，6）
→（8，6）→（16，6）→（10，6）→（20，6）→（40，6）→（80，6）
→（160，6）→（320，6）→（前面的數反復減20次6）→（200，6）；

（2）不能到達點（12，60）和（200，5）．
理由如下：
∵a和b的公共奇約數=a和2b的公共奇約數=2a和b的公共奇約數，
∴由規則①知，跳躍不改變前后兩數的公共奇約數．
∵如果a＞b，a和b的最大公約數=（a-b）和b的最大公約數，
如果a＜b，a和b的最大公約數=（b-a）和b的最大公約數，
∴由規則②知，跳躍不改變前后兩數的最大公約數．
從而按規則①和規則②跳躍，均不改變坐標前后兩數的公共奇約數．
∵1和1的公共奇約數為1，12和60的公共奇約數為3，200和5的公共奇約數為5．
∴從（1，1）出發不可能到達給定點（12，60）和（200，5）．

點評：此題主要考查了學生對公約數及公約奇數的理解和掌握，此題解題的關鍵是著重分析規則運用公約數解答．此題較難，是好題，能培養學生的分析判斷能力．