Question

一只青蛙在平面直角坐標系上從點(1，1)開始，可以按照如下兩種方式跳躍：

①能從任意一點(a，b)，跳到點(2a，b)或(a，2b)；

②對于點(a，b)，如果a＞b，則能從(a，b)跳到(a－b，b)；如果a＜b，則能從(a，b)跳到(a，b－a)．

例如，按照上述跳躍方式，這只青蛙能夠到達點(3，1)，跳躍的一種路徑為：(1，1)→(2，1)→(4，1)→(3，1)．

請你思考：這只青蛙按照規定的兩種方式跳躍，能到達下列各點嗎？如果能，請分別給出從點(1，1)出發到指定點的路徑；如果不能，請說明理由．

(1)(3，5)；(2)(12，60)；(3)(200，5)；(4)(200，6)．

Answer 1

答案：
解析：

(1)能到達點(3，5)和點(200，6)． 　　從(1，1)出發到(3，5)的路徑為： 　　(1，1)→(2，1)→(4，1)→(3，1)→(3，2)→(3，4)→(3，8)→(3，5)． 　　從(1，1)出發到(200，6)的路徑為： 　　(1，1)→(1，2)→(1，4)→(1，3)→(1，6)→(2，6)→(4，6)→(8，6)→(16，6)→(10，6)→(20，6)→(40，6)→(80，6)→(160，6)→(320，6)→(前面的數反復減20次6)→(200，6)． 　　(2)不能到達點(12，60)和(200，5)． 　　理由如下： 　　∵a和b的公共奇約數＝a和2b的公共奇約數＝2a和b的公共奇約數， 　　∴由規則①知，跳躍不改變前后兩數的公共奇約數． 　　∵如果a＞b，a和b的最大公約數＝(a－b)和b的最大公約數， 　　如果a＜b，a和b的最大公約數＝(b－a)和b的最大公約數， 　　∴由規則②知，跳躍不改變前后兩數的最大公約數． 　　從而按規則①和規則②跳躍，均不改變坐標前后兩數的公共奇約數． 　　∵1和1的公共奇約數為1，12和60的公共奇約數為3，200和5的公共奇約數為5． 　　∴從(1，1)出發不可能到達給定點(12，60)和(200，5)．