Question

如圖所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中點，點E、F分別在AC、BC邊上運動（點E不與點A，C重合），且保持AE=CF，連接DE，DF，EF．在此運動變化過程中，有下列結論：
①△DEF是等腰直角三角形
②四邊形CEDF不可能為正方形
③四邊形CEDF的面積隨點E位置的改變而發生變化
④點C到線段EF的最大距離為
其中正確的有________（填上你認為正確結論的所有序號）

Answer 1

①④
分析：①作常規輔助線連接CD，由SAS定理可證△CDF和△ADE全等，從而可證∠EDF=90°，DE=DF．所以△DFE是等腰直角三角形；
②當E為AC中點，F為BC中點時，四邊形CEDF為正方形；
③由割補法可知四邊形CEDF的面積保持不變；
④△DEF是等腰直角三角形，DE=EF，當DF與BC垂直，即DF最小時，FE取最小值2，此時點C到線段EF的最大距離．
解答：①連接CD；
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB；
∵AE=CF，
∴△ADE≌△CDF；
∴ED=DF，∠CDF=∠EDA；
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，
∴△DFE是等腰直角三角形．故此選項正確；
②當E、F分別為AC、BC中點時，四邊形CDFE是正方形，故此選項錯誤；
③如圖2所示，分別過點D，作DM⊥AC，DN⊥BC，于點M，N，
可以利用割補法可知四邊形CEDF的面積等于正方形CMDN面積，故面積保持不變；故此選項錯誤；
④△DEF是等腰直角三角形，DE=EF，
當EF∥AB時，∵AE=CF，
∴E，F分別是AC，BC的中點，故EF是△ABC的中位線，
∴EF取最小值=2，
∵CE=CF=2，
∴此時點C到線段EF的最大距離為 EF=．故此選項正確；
故正確的有①④．
故答案為：①④
點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質以及正方形、等腰三角形、直角三角形性質等知識，根據圖形利用割補法可知四邊形CEDF的面積等于正方形CMDN面積是解題關鍵．