Question

已知：如圖1，BD、CE分別是△ABC的外角平分線，過點A作AF⊥BD，
AG⊥CE，垂足分別為F、G，連接FG，延長AF、AG，與直線BC相交，易證
FG=（AB+AC﹣BC）．
若：（1）BD、CE分別是△ABC的內角平分線（如圖2）；
        （2）BD為△ABC的內角平分線，CE為△ABC的外角平分線（如圖3），
則在圖2、圖3兩種情況下，線段FG與△ABC三邊又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想，并對其中的一種情況給予證明．

?

Answer 1

解：（1）猜想結果：如圖2結論為FG=（AB+AC﹣BC） 證明：分別延長AG、AF交BC于H、K 易證△BAF≌△BKF ∴AF=KF，AB=KB 同理可證，AG=HG，AC=HC ∴FG=HK 又∵HK=BK﹣BH=AB+AC﹣BC ∴FG=（AB+AC﹣BC） （2）圖3的結論為FG=（BC+AC﹣AB）． 證明：分別延長AG、AF交BC或延長線于H、K 易證△BAF≌△BKF， ∴AF=KF    AB=KB 同理可證，AG=HG，AC=HC， ∴FG=KH 又∵KH=BC﹣BK+HC=BC+AC﹣AB． ∴FG=（BC+AC﹣AB）．